Question

在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|

在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得5a3?a1＝(2a2+2)2，即5(a1+2d)?a1＝(2a1+2d+2)2，整理得d²-3d-4=0．解得d=-1或d=4．
当d=-1时，a_n=a₁+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．
当d=4时，a_n=a₁+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．
所以a_n=-n+11或a_n=4n+6；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=-1，a_n=-n+11．
则当n≤11时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝Sn＝?

1

2

n2+

21

2

n．
当n≥12时，|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=-S_n+2S₁₁=

1

2

n2?

21n

2

+110．
综上所述，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

? 1 2 n2+ 21 2 n，n≤11 1 2 n2? 21 2 n+110，n≥12

．