Question

如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过点B的切线相交于点D，D点E是BD的中点，直线CE交直线AB与点

如图，点C是以AB为直径的圆O上一点，直线AC与过点B的切线相交于点D，D点E是BD的中点，直线CE交直线AB与点． （1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若ED= ，tanF= ，求⊙O的半径．

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Answer 1

（1）证明见解析；（2）3．

试题分析：（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD=90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以∴OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线. （2）CE=BE=DE= ，在Rt△BFE中，利用正切的定义得 ，可计算出BF=2，再利用勾股定理可计算出EF= ，所以CF=CE+EF=4，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC． 试题解析：（1）如图，连接CB、OC， ∵BD为⊙O的切线，∴DB⊥AB。∴∠ABD=90°. ∵AB是直径，∴∠ACB=90°. ∴∠BCD=90°. ∵E为BD的中点，∴CE="BE." ∴∠BCE=∠CBE. 而∠OCB=∠OBC， ∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°. ∴OC⊥CF， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：CE=BE=DE= ， 在Rt△BFE中， ，∴BF=2. ∴ .∴CF=CE+EF=4. 在Rt△OCF中， ，∴OC=3，即⊙O的半径为3．