Question

如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC. 求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.

Answer 1

见解析

分析：首先根据角之间的关系推出∠EAC=∠BAF．再根据边角边定理，证明△EAC≌    △BAF．最后根据全等三角形的性质定理，得知EC=BF．根据角的转换可求出EC⊥BF. 证明：(1)因为 AE⊥AB，AF⊥AC，所以 ∠EAB=90°=∠FAC， 所以 ∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠BAC. 又因为 ∠EAC=∠EAB+∠BAC，∠BAF=∠FAC+∠BAC. 所以 ∠EAC=∠BAF. 在△EAC与△BAF中， 所以 △EAC≌△BAF. 所以EC=BF. (2)因为 ∠AEB+∠ABE=90°，又由△EAC≌△BAF可知∠AEC=∠ABF， 所以 ∠CEB+∠ABF+∠EBA=90°，即∠MEB+∠EBM=90°，即∠EMB=90°， 所以 EC⊥BF.

Answer 2

证
∵∠BAE=∠CAF=90°
∴∠EAC=∠BAF
∵AE=AB，AC=AF
∴△CAE≌△BAF(SAS)
∴∠AFB=∠ACE
又因为∠BFA+∠AOF=90°
（M右面的点为O）
而∠COB=∠AOF（对顶角相等）
所以∠BFA+COB=90°
所以∠OMC=90°，
所以EC垂直于BF