Question

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E． 求证

如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E． 求证：（1）PD=PE； （2）PE 2 =PA·PB．

Answer 1

证明：（1）连接OC、OD， ∵C是半圆ACB的中点 ∴∠COA=∠COB ∵∠COA+∠COB=180° ∴∠COA=∠COB=90° ∴OD⊥PD，OC⊥AB． ∴∠PDE=90°﹣∠ODE，∠PED=∠CEO=90°﹣∠C， 又∵OC=OD， ∴∠C=∠ODE， ∴∠PDE=∠PED． ∴PE=PD. （2）连接AD、BD， ∴∠ADB=90°． ∵∠BDP=90°﹣∠ODB，∠A=90°﹣∠OBD， 又∵∠OBD=∠ODB， ∴∠BDP=∠A； △PDB∽△PAD． ∴ ， ∴PD 2 =PA·PB． ∴PE 2 =PA·PB．