Question

知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围.

知x>0,y>0,x+2y+xy=30,求xy的取值范围.

Answer 1

(0,18]

因为x>0,y>0,所以30=x+2y+xy ≥2 +xy=2 +xy, 所以( ) 2 +2 -30≤0, 所以( -3 )( +5 )≤0, 所以0< ≤3 ,即0<xy≤18, 当且仅当x=2y,即x=6,y=3时等号成立. 所以xy的取值范围为(0,18]. 【一题多解】本题还可用消元的方法: 因为x+2y+xy=30,所以y= , 所以xy=x· = = =-x+32- =-(x+2)- +34, 又因为x>0, 所以(x+2)+ ≥2 =16, 当且仅当x+2= ,即x=6时,等号成立, 所以xy≤-16+34=18, 当且仅当x=6,y=3时等号成立. 所以xy的取值范围是(0,18].