已知数列{a n }与{b n }满足b n+1 a n +b n a n+1 =（﹣2） n +1，b n = ，n∈N * ，且a 1 =2．（1）求a
已知数列{an}与{bn}满足bn+1an+bnan+1=（﹣2）n+1，bn=，n∈N*，且a1=2．（1）求a2，a3的值（2）设cn=a2n+1﹣a2n﹣1，n∈N...
已知数列{a n }与{b n }满足b n+1 a n +b n a n+1 =（﹣2） n +1，b n = ，n∈N * ，且a 1 =2．（1）求a 2 ，a 3 的值（2）设c n =a 2n+1 ﹣a 2n ﹣1 ，n∈N * ，证明{c n }是等比数列（3）设S n 为{a n }的前n项和，证明 + +…+ + ≤n﹣ （n∈N * ）
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| （1）a 2 =﹣  a 3 =8（2）（3）见解析 |
| 试题分析：（1）推出b n 的表达式，分别当n=1时，求出a 2 =﹣  ；当n=2时，解出a 3 =8；（2）设c n =a 2n+1 ﹣a 2n ﹣1 ，n∈N * ，利用等比数列的定义，证明{c n }是等比数列； （3）求出S 2n ，a 2n ，S 2n ﹣1 ，a 2n ﹣1 ，求出  + 的表达式，然后求出 + +…+ + 的表达式，利用放缩法证明结果．（1）解：由b n =  ，（n∈N * ）可得b n = 又b n+1 a n +b n a n+1 =（﹣2） n +1， 当n=1时，a 1 +2a 2 =﹣1，可得由a 1 =2，a 2 =﹣ ；当n=2时，2a 2 +a 3 =5可得a 3 =8； （2）证明：对任意n∈N * ，a 2n ﹣1 +2a 2n =﹣2 2n ﹣1 +1…① 2a 2n +a 2n+1 =2 2n +1…② ②﹣①，得a 2n+1 ﹣a 2n ﹣1 =3×2 2n ﹣1 ，即：c n =3×2 2n ﹣1 ，于是  所以{c n }是等比数列． （3）证明： a1=2，由（2）知，当k∈N * 且k≥2时， a 2k ﹣1 =a 1 +（a 3 ﹣a 1 ）+（a 5 ﹣a 3 ）+（a 7 ﹣a 5 ）+…+（a 2k ﹣1 ﹣a 2k ﹣3 ） =2+3（2+2 3 +2 5 +…+2 2k ﹣3 ）=2+3×  =2 2k ﹣1 ，故对任意的k∈N * ，a 2k ﹣1 =2 2k ﹣1 ． 由①得2 2k ﹣1 +2a 2k =﹣2 2k ﹣1 +1，所以  k∈N * ，因此，  于是，  ．故  = =  所以，对任意的n∈N * ，  + +…+ + =（ + ）+…+（ + ）=  =  =n﹣  ≤n﹣  ﹣ =n﹣ （n∈N * ）点评：本题考查等比数列的定义，等比数列求和等基础知识，考查计算能力、推 
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