Question

已知函数 f （ x ）= ax +ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数.(Ⅰ) 当 a =-1时，求 f （ x ）

已知函数 f （ x ）= ax +ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数.(Ⅰ) 当 a =-1时，求 f （ x ）的最大值；(Ⅱ) 若 f （ x ）在区间（0，e］上的最大值为-3，求 a 的值； （Ⅲ） 当 a =-1 时，试推断方 是否有实数解.

Answer 1

解：(1) 当 a =-1时， f （ x ）=- x +ln x ， f ′( x )′= 当0< x <1时， f ′( x )>0； 当 x >1时， f ′( x )<0. ∴ f （ x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数 f（x ）max= f （1）=-1 (2) ∵ f ′( x )′= a + ， x ∈(0,e］， ① 若 a ≥- ，则 f ′′( x )≥0，从而 f ( x )在(0,e］上增函数 ∴f（x ）max= f （ e ）= ae +1≥0.不合题意 ② 若 ，则由 f ′( x )′>0 ， 即0< x < 由 f ( x )<0 ，即 < x ≤ e . 从而 f ( x )在 上增函数,在 为减函数 ∴ 令-1+ln ，则ln =-2 ∴ ，即a= . ∵ ∴a=-e 2 (3) 由（1）知当 a =-1时f（x） max= f （1）=-1，∴| f （ x ）|≥1 又令 ， 令 g ′( x )=0，得 x = e , 当0< x < e 时， g ′( x )>0, g ( x )  在(0, e )单调递增； 当 x > e 时, g ′( x )<0， g ( x ) 在( e ,+∞)单调递减 ∴ ∴g(x)<1 ∴| f （ x ）|> g ( x ),即| f ( x )|> ∴方程| f （ x ）|= 没有实数解.