Question

（2010?罗湖区模拟）如图，在等边三角形ABC中，以BC为直径的半圆O与AB边交于点D，DE⊥AC于E．（1）求证：

（2010?罗湖区模拟）如图，在等边三角形ABC中，以BC为直径的半圆O与AB边交于点D，DE⊥AC于E．（1）求证：DE是半圆O的切线；（2）延长ED，CB相交于点G，求AE：BG的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD，（1分）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°．
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠ABC=60°，
∴∠DOB=∠C=60°．
∴OD∥AC．（2分）
∵DE⊥AC于E，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圆O的切线．（3分）

（2）解：∵∠ABC=∠C=∠A=60°，DE⊥AC，
∴∠ADE=30°，

AE

AD

＝

1

2

．
∵DE⊥AC于E，∠C=60°，
∴∠ADE=∠G=30°．
∵∠ADE=∠BDG，
∴∠G=∠BDG，
∴BD=BG．（4分）
∵OD∥AC，O是BC中点，
∴点D是AB中点，即DA=DB，
∴BG=DA．
∴

AE

BG

=

AE

AD

=

1

2

．（5分）