Question

（2012?密云县一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4x+5过点A（-1，0），对称轴与x轴交于点C

（2012?密云县一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+4x+5过点A（-1，0），对称轴与x轴交于点C，顶点为B．（1）求a的值及对称轴方程；（2）设点P为射线BC上任意一点（B、C两点除外），过P作BC的垂线交直线AB于点D，连接PA．设△APD的面积为S，点P的纵坐标为m，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）设直线AB与y轴的交点为E，如果某一动点Q从E点出发，到抛物线对称轴上某点F，再到x轴上某点M，从M再回到点E．如何运动路径最短？请在直角坐标系中画出最短路径，并写出点M的坐标和运动的最短距离．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+4x+5过点A（-1，0），
∴a=-1．
∴对称轴方程为x＝?

b

2a

＝2，

（2）∵点A为（-1，0），点B为（2，9），
∴直线AB的解析式为y=3x+3．
依题意知点P的坐标为（2，m）．
∴点D的坐标为（

m

3

?1，m）．
∴S=

1

2

PD?|m|=

1

2

（2-

m

3

+1）?|m|=（

3

2

-

m

6

）?|m|
故S与m的函数关系式为S＝

? 1 6 m2+ 3 2 m(0＜m＜9) 1 6 m2? 3 2 m(m＜0).

，

（3）如图：作点E关于x=2的对称点E′，再作点E关于x轴对称的点E''，
连接E′E''交x轴于点M，连接EM（F与M重合）．
则点Q运动的最短路径为：E→F（M）→E．其中，点M的坐标为（2，0）；
最短距离为2

13

．