Question

在平面直角坐标系xOy中，直线 y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求∠BAO的度数；（2）如图1，P为线

在平面直角坐标系xOy中，直线 y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求∠BAO的度数；（2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点Q在AD上，连接PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．求证：PF=PQ；（3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由．

Answer 1

PD解：（1）直线y=x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．

∴A（-6，0），B（0，6）．
∴OA=OB．
∴∠BAO=∠ABO
在△AOB中，∠AOB=90°．
∴∠BAO=∠ABO=45°． 
（2）在等腰直角三角形APD中，∠PDA=90°，DA=DP，∠1=∠APD=45°．
∴DP⊥AD于D．
由（1）可得∠BAO=45°．
∴∠BAO=∠1．
又∵PG⊥x轴于G，
∴PG=PD．
∴∠AGP=∠PGF=∠D=90°．
∴∠4=∠BAO=45°．
∴∠4+∠APD=∠DPG=90°．
即∠3+∠GPQ=90°．
又∵PQ⊥PF，
∴∠2+∠GPQ=90°．
∴∠2=∠3．
在△PGF和△PDQ中，

∠PGF＝∠D PG＝PD ∠2＝∠3

∴△PGF≌△PDQ（ASA）．
∴PF=PQ．
（3）答：OP⊥DP，OP=DP．
证明：延长DP至H，使得PH=PD．
∵P为BE的中点，
∴PB=PE．
在△PBH和△PED中，

PB＝PE ∠1＝∠2 PH＝PD

，
∴△PBH≌△PED（SAS）．
∴BH=ED． 
∴∠3=∠4．
∴BH∥ED．
在等腰直角三角形ADE中，
AD=ED，∠DAE=∠DEA=45°．
∴AD=BH，∠DAE+∠BAO=∠DAO=90°．
∴DE∥x轴，BH∥x轴，BH⊥y轴．
∴∠DAO=∠HBO=90°．
由（1）可得 OA=OB．
在△DAO和△HBO中，

AD＝BH ∠DAO＝∠HBO OA＝OB

，
∴△DAO≌△HBO（SAS）．
∴OD=OH，∠5=∠6． 
∵∠AOB=∠5+∠DOB=90°，
∴∠DOH=∠6+∠DOB=90°．
∴在等腰直角三角形△DOH中，
∵DP=HP，
∴OP⊥DP，∠7＝

1

2

∠DOH＝45°．
∴∠ODP=∠7．
∴OP=PD．