Question

已知0≤x≤π2，求函数y=cos2x-2acosx的最大值M（a）与最小值m（a）

已知0≤x≤π2，求函数y=cos2x-2acosx的最大值M（a）与最小值m（a）．

Answer 1

∵0≤x≤

π

2

，
∴0≤cosx≤1，
令t=cosx，t∈[0，1]，
∵y=cos²x-2acosx=（cosx-a）²-a²=（t-a）²-a²，t∈[0，1]．
令f（t）=（t-a）²-a²，t∈[0，1]．
则（1）当a＜0时，f（t）在[0，1]上单调递增，
∴m（a）=f（0）=0，M（a）=f（1）=1-2a；
（2）当0≤a＜

1

2

时，同理可得m（a）=f（a）=-a²，M（a）=f（1）=1-2a；
（3）当

1

2

≤a＜1时，m（a）=f（a）=-a²，M（a）=f（0）=0；
（4）当a≥1时，f（t）在[0，1]上单调递减，m（a）=f（1）=1-2a，M（a）=f（0）=0．