Question

已知函数f（x）=ax2+lnx，（x＞0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令g（x）=x3+（a-2e）x2+（a+e2）x

已知函数f（x）=ax2+lnx，（x＞0）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）令g（x）=x3+（a-2e）x2+（a+e2）x（其中e为自然对数的底数），讨论函数H（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；（3）若函数y=f（x）的图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），都满足x1＜1k＜x2（其中k是直线AB的斜率），则称函数y=f（x）为优美函数，当a=0时，函数f（x）是否是优美函数，如果是，请证明，如果不是，请说明理由．

Answer 1

f′(x)＝2ax+

1

x

＝

2ax2+1

x

(x＞0)
当a≥0时，f（x）的递增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）的递增区间是(0，

? 1 2a

)，递减区间是[

? 1 2a

，+∞)；
（2）H（x）=f（x）-g（x）=lnx-x³+2ex²-（a+e²）x
由H（x）=0得：

lnx

x

＝(x?e)2+a
令?(x)＝

lnx

x

，则?′(x)＝

1?lnx

x2

当0＜x＜e时，?'（x）＞0，当x＞e时，?'（x）＜0
所以当x=e时，?（x）取最大值

1

e

，且当x→0时，?(x)＝

lnx

x

→-∞
当x→+∞时，?(x)＝

lnx

x

→0
令M（x）=（x-e）²+a
于是当a＜

1

e

时，H（x）有两个零点；
当a＝

1

e

时，H（x）有一个零点；
当a＞

1

e

时，H（x）没有零点．
（3）当a=0时，f（x）=lnx   k＝

lnx2?lnx1

x2?x1

若f（x）是优美函数，则x1＜

1

k

＜x2，即x1＜

x2?x1

lnx2?lnx1

＜x2，于是1＜

x2 x1 ?1

ln x2 x1 ?1

＜

x2

x1

解得：1?

x1

x2

＜ln

x2

x1

＜

x2

x1

?1…、①
令t＝

x2

x1

(t＞1)，则①可化为1?

1

t

＜lnt＜t?1
令F（t）=lnt-t+1，则F′(t)＝

1

t

?1＝

1?t

t

＜0F（t）在（1，+∞）上递减，当t=1时取最大值F（1）=0、F（t）=lnt-t+1＜0ln

x2

x1

＜

x2

x1

?1
令G(t)＝lnt+

1

t

?1，于是G′(t)＝

1

t

?

1

t2

＝

t?1

t2

＞0
当G（t）在（1，+∞）上递增，当t=1时取最小值G（1）=0、G(t)＝lnt+

1

t

?1＞G(1)＝0ln

x2

x1

＞1?

x1

x2

于是①成立，所以x1＜

x2?x1

lnx2?lnx1

＜x2
即x1＜

1

k

＜x2
所以函数f（x）为优美函数．