Question

异面直线a，b所成的角为θ，过空间中定点P，与a，b都成60°角的直线有四条，则θ的取值范围是______

异面直线a，b所成的角为θ，过空间中定点P，与a，b都成60°角的直线有四条，则θ的取值范围是______．

Answer 1

如图，已知异面直线a，b，过点P分别作a₁∥a，b₁∥b，则相交直线a₁，b₁确定一平面α；

假设PA是与a，b都成60°角的四条直线中的一条，即：和直线a，b所成角都是60°；
即PA和a₁，b₁所成角都是60°，设c是θ的平分线，d是θ补角的平分线；
容易知道PA和a₁所成角大于c和b₁所成角；
∵0°＜θ≤90°，∴

θ

2

≤45°＜60°；
∴存在直线PA和a₁，b₁所成角都为60°，而PA关于平面α的对称直线也和a₁，b₁所成角为60°；
假设PB和a₁，b₁所成角为60°，并且PB关于平面α的对称直线也和a₁，b₁成60°角，这样就找到四条直线和a₁，b₁成60°角；
而要使PB和a₁，b₁所成角为60°，则：

180°?θ

2

＜60°，即θ＞60°，又0°＜θ≤90°；
∴60°＜θ≤90°；
θ的取值范围为（60°，90°]．
故答案为：（60°，90°]．