Question

已知m, n 均为正整数,那么3^m+3^n+1能否是完全平方数?能的话请举例,不能请说明理由

Answer 1

m,n是正整数，证明：3^m+3^n+1不可能是完全平方数
证：
完全平方数按奇偶分为两类：
1#: (2k+1)^2=4k(k+1)+1==1 mod 8.
2#: (2k)^2=4kk
易见f=3^m+3^n+1不可能形如2#.
假设f形如1#, 应该除以8余1.
或者说3^m+3^n应该是8的倍数，不妨设m≤n，
由于3^m+3^n=3^m[1+3^(n-m)]，那么1+3^(n-m)应该是8的倍数。
但是这是不可能的，
因为假如n-m是偶数，那么1+3^(n-m)除以8余2；
假如n-m是奇数，那么1+3^(n-m)除以8余4.都不是8的倍数。
所以要证的命题成立。