Question

已知椭圆E的方程为2x 2 +y 2 =2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点。（1）求椭圆E的长轴和短轴

已知椭圆E的方程为2x 2 +y 2 =2，过椭圆E的一个焦点的直线l交椭圆于A、B两点。（1）求椭圆E的长轴和短轴的长，离心率，焦点和顶点的坐标；（2）求△ABO（O为原点）的面积的最大值。

Answer 1

解：（1）将椭圆E的方程化为标准方程： 于是 ， ， 因此，椭圆E的长轴长为 ，短轴长为 ，离心率 ，两 个焦点坐标分别是F 1 （0，-1）、F 2 （0，1）， 四个顶点的坐标分别是 ， ， 和 。 （2）依题意，不妨设直线l过F 2 （0，1）与椭圆E的交点 则 根据题意，直线l的方程可设为 将 代入 得 由韦达定理得： 所以 （当且仅当 ，即 时等号成立） 故△ABO的面积的最大值为 。