Question

设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）·f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，

设函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）·f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1，（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，有f（x）＞1；（2）判断f（x）在R上的单调性。

Answer 1

（1）证明：∵f（m+n）=f（m）f（n）， 令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0）， 且由x＞0时，0＜f（x）＜1， 所以f（0）=1； 设m=x=0，n=-x＞0， ∴ ， ∴ ； （2）解： ，则 时， ∴ ， ∴ ， ∴f（x）在R上单调递减。