Question

已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{an}的通项公

已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=2n?1(an?1)(2an?1)，记数列{bn}的前n项和为Sn，其中n∈N*，求证：13≤Sn＜12．

Answer 1

（1）∵a_n＞0，∴由a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1得：(

an+1

an

)2?

an+1

an

?2＝0，∴(

an+1

an

+1)(

an+1

an

?2)＝0，∴

an+1

an

＝2；
∴数列{a_n}是以2为公比的等比数列；
∴由a₂+a₄=2a₃+4得：2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，∴an＝2n．
（2）bn＝

2n?1

(2n?1)(2n+1?1)

=

1

2

(

1

2n?1

?

1

2n+1?1

)
∴Sn＝

1

2

[(

1

21?1

?

1

22?1

)+(

1

22?1

?

1

23?1

)+…+(

1

2n?1

?

1

2n+1?1

)]=

1

2

(1?

1

2n+1?1

)
∵n+1≥2，∴

1

2n+1?1

≤

1

3

，∴

1

2

(1?

1

2n+1

)≥

1

3

，且

1

2

(1?

1

2n+1?1

)＜

1

2

；
∴

1

3

≤Sn＜

1

2

．