Question

设总体X的概率密度为f（x，θ）=θ， 0＜x＜11?θ， 1≤x＜20 ， 其他其中θ是...

设总体X的概率密度为f（x，θ）=θ， 0＜x＜11?θ， 1≤x＜20 ， 其他其中θ是未知参数（0＜θ＜1），X1，X2…Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2…，xn中小于1的个数．（Ⅰ）求θ的矩估计；（Ⅱ）求θ的最大似然估计．

Answer 1

（I）
因为：EX=

∫

+∞ ?∞

xf(x，θ)dx=

∫

1 0

xθdx+

∫

2 1

x(1?θ)dx=

3

2

-θ，
令：

3

2

-θ=

.

X

，
可得θ的矩估计为：θ=

3

2

-

.

X

．

（II）
由已知条件，似然函数为：
L（θ）=

θθ…θ

N个

(1?θ)…(1?θ)

n?N个

=θ^N（1-θ）^n-N，
两边取对数得：
ln L（θ）=Nlnθ+（n-N）ln（1-θ），
两边对θ求导可得：

d ln L(θ)

dθ

=

N

θ

+

n?N

1?θ

，
令：

d ln L(θ)

dθ

=0，
可得：θ=

N

n

，
故θ得最大似然估计为

N

n

．