Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 cosA-3cosC cosB = 3c-a b ．（

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 cosA-3cosC cosB = 3c-a b ．（Ⅰ）求 sinC sinA 的值；（Ⅱ）若B为钝角，b=10，求a的取值范围．

Answer 1

（本小题满分14分） （I）由正弦定理，设 a sinA = b sinB = c sinC =k ， 则 3c-a b = 3ksinC-ksinA ksinB = 3sinC-sinA sinB ， 所以 cosA-3cosC cosB = 3sinC-sinA sinB ．…（4分） 即（cosA-3cosC）sinB=（3sinC-sinA）cosB， 化简可得sin（A+B）=3sin（B+C）．…（6分） 又A+B+C=π， 所以sinC=3sinA 因此 sinC sinA =3 ．…（8分） （II）由 sinC sinA =3 得c=3a．…（9分） 由题意 a+c＞b a 2 + c 2 ＜ b 2 ，…（12分） ∴ 5 2 ＜a＜ 10 …（14分）