Question

已知两点M（-1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足 | MN |?| NP

已知两点M（-1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足 | MN |?| NP |= MN ? MP ．（1）求动点P的轨迹方程；（2）若点A（t，4）是动点P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x 2 +（y-2） 2 =4的位置关系．

Answer 1

（1）设P（x，y），则 MN =(2，0) ， NP =(x-1，y) ， MP =(x+1，y) ．（2分） 由 | MN |?| NP |= MN ? MP ， 得 2 (x-1) 2 + y 2 =2(x+1) ，（4分） 化简得y 2 =4x． 所以动点P的轨迹方程为y 2 =4x．（5分） （2）由点A（t，4）在轨迹y 2 =4x上，则4 2 =4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分） 当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x 2 +（y-2） 2 =4相离．（7分） 当m≠4时，直线AK的方程为 y= 4 4-m (x-m) ，即4x+（m-4）y-4m=0，（8分） 圆心（0，2）到直线AK的距离 d= |2m+8| 16+ (m-4) 2 ， 令 d= |2m+8| 16+ (m-4) 2 ＜2 ，解得m＜1； 令 d= |2m+8| 16+ (m-4) 2 =2 ，解得m=1； 令 d= |2m+8| 16+ (m-4) 2 ＞2 ，解得m＞1． 综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x 2 +（y-2） 2 =4相交； 当m=1时，直线AK与圆x 2 +（y-2） 2 =4相切； 当m＞1时，直线AK与圆x 2 +（y-2） 2 =4相离．（14分）