Question

已知椭圆 ＝1(a>b>0)的离心率为 ，且过点P ，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点

已知椭圆 ＝1(a>b>0)的离心率为 ，且过点P ，A为上顶点，F为右焦点．点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点， 过Q作平行于x轴的直线交直线AP于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.(1)求椭圆方程；(2)若圆N与x轴相切，求圆N的方程；(3)设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围．





Answer 1

（1） ＝1（2） （3）

(1)∵e＝ 不妨设c＝3k，a＝5k，则b＝4k，其中k>0，故椭圆方程为 ＝1(a>b>0)，∵P 在椭圆上，∴ ＝1解得k＝1，∴椭圆方程为 ＝1. (2)k AP ＝ ,则直线AP的方程为y＝－ x＋4， 令y＝t ，则x＝ ∴M .∵Q(0，t)∴N ， ∵圆N与x轴相切，∴ ＝t，由题意M为第一象限的点，则 ＝t，解得t＝ .∴N ，圆N的方程为 . (3)F(3，0)，k PF ＝ ，∴直线PF的方程为y＝ (x－3)即12x－5y－36＝0， ∴点N到直线PF的距离为 ， ∴d＝ ＋ (4－t)，∵0<t<4， ∴当0<t≤ 时，d＝ (6－5t)＋ (4－t)＝ ，此时 ≤d< ， 当 <t<4时，d＝ (5t－6)＋ (4－t)＝ ，此时 <d< ， ∴综上，d的取值范围为 .