Question

函数f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是______

函数f（x）=ax3+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是______．

Answer 1

∵f（x）=ax³+x，
∴f′（x）=3ax²+1，
若a≥0，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0，得?

? 1 3a

＜x＜

? 1 3a

，
由f′（x）＜0，得x＞

? 1 3a

，或x＜?

? 1 3a

∴满足f（x）=ax³+x恰有三个单调区间的a的范围是（-∞，0）；
故答案为：（-∞，0）；

Answer 2

(－∞，0)
f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，即函数f(x)恰有两个极值点，即f′(x)＝0有两个不等实根．
∵f(x)＝ax3＋x，∴f′(x)＝3ax2＋1.
要使f′(x)＝0有两个不等实根，则a<0.