Question

（2014?路南区一模）如图，已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．实践与操作：（1）①利用尺规按下列要求作图

（2014?路南区一模）如图，已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．实践与操作：（1）①利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）：作线段AC的垂直平分线MN，垂足为O； ②连接BO，并延长BO到点D，使得OD=BO，连接AD、CD； ③分别在OA、OC的延长线上取点E、F，使AE=CF，连接BF、FD、DE、EB．推理与运用：（2）①求证：四边形BFDE是平行四边形； ②若AB=4，AC=6，求当AE的长为多少时，四边形BFDE是矩形．

Answer 1

（1）解：如图所示：

（2）①证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，
即OE=OF，
∵OD=BO，
∴四边形BFDE是平行四边形
②解：在Rt△ABC中，
∠BAC=90°，AB=4，AC=6，
∴OA=OC=3，
∴OB=

42+32

=5，
∵OD=BO=5，
∴当四边形BFDE是矩形时，∠BED=90°，
∴EO=

1

2

BD=5，
∴AE=EO-OA=2．