Question

等差数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=2，且s2+b2=7，s4-b3=2．（1）求an与

等差数列{an}中，a1=1，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=2，且s2+b2=7，s4-b3=2．（1）求an与bn；（2）设cn=a2n?1a2n，Tn=c1?c2?c3…cn 求证：T n≥12n（n∈N*）．

Answer 1

（1）设等差数列{a₁}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，
∴d+2q=5，3d-q²+1=0，
解得，q=2或q=-8（舍去），d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=2ⁿ．
（2）证明：∵c_n=

a2n?1

a2n

，
∴cn＝

2n?1

2n

，
T_n=

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2n?1

2n

．
下面用数学归纳法证明Tn≥

1

2 n

对一切正整数成立．
①当n=1时，T1＝

1

2

≥

2×1?1

2×1

，命题成立．
②假设当n=k时，命题当n=k时命题成立，
∴Tk≥

1

2 k

．
则当n=k+1时，Tk+1＝Tk?

2k+1

2(k+1)

≥

1

2 k

?

2k+1

2(k+1)

=

1

2 k+1

?

2k+1

2 k k+1

=

1

2 k+1

4k2+4k+1 4k2+4k

≥

1

2 k+1

，这就是说当n=k+1时命题成立．
综上所述原命题成立．