Question

已知椭圆x²/16+y²/4=1，长轴右顶点，短轴上顶点分别为A,B

已知椭圆x²/16+y²/4=1，长轴右顶点，短轴上顶点分别为A,B，过AB中点P作一条直线，交椭圆于C,D两点，求四边形ABCD面积的最大值复制去Google翻译翻译结果

Answer 1

椭圆x²/16+y²/4=1①的长轴右顶点为A(4，0)，短轴上顶点为B(0，2),

AB的中点为P(2，1),过P的直线：y=k(x-2)+1,
代入①，x^2+4(kx+1-2k)^2=16,
整理得(1+4k^2)x^2+8k(1-2k)x+4(1-2k)^2-16=0,
△/16=4k^2(1-2k)^2-(1+4k^2)[(1-2k)^2-4]
=16k^2+4-(1-2k)^2
=12k^2+4k+3,
|CD|=√[△(k^2+1)]/(1+4k^2),
A到CD的距离h=|2k+1|/√(k^2+1),
所以S△ACD=(1/2)|CD|h=2√(12k^2+4k+3)*|2k+1|/(1+4k^2),
四边形ABCD面积S=2S△ACD=4√(12k^2+4k+3)*|2k+1|/(1+4k^2)，
S^2/16=[3(4k^2+1)+4k][(4k^2+1)+4k]/(4k^2+1)^2
=[3(4k^2+1)^2+12k(4k^2+1)+16k^2]/(4k^2+1)^2
=3+12k/(4k^2+1)+16k^2/(4k^2+1)^2
=[4k/(4k^2+1)+3/2]^2+3/4,
设u=4k/(4k^2+1),则u∈[-1,1],u=1时S^2/16取最大值7，
所以S的最大值=4√7.