Question

（1）求函数y=x+根号(4-x^2)的值域（2）求函数y=x根号(1-x^2)的最大值

（1）求函数y=x+根号(4-x^2)的值域 （2）求函数y=x根号(1-x^2)的最大值

Answer 1

1.函数定义域是 -2≤x≤2, 可设 x＝2sinθ, θ∈[-π/2,π/2], 则：√(4-x^2)＝2cosθ (不带绝对值，因为 θ∈[-π/2,π/2]) 原函数即为 y＝2sinθ + 2cosθ＝2(sinθ+cosθ)＝2√2·sin(θ+π/4) 因-π/4≤θ+π/4≤3π/4 ，故 -√2/2 ≤sin(θ+π/4)≤sin(π/2)＝1 于是y 的值域是 [-2 ，2√2]2.y=x√(1-x^2) 定义域是[-1，1] 因为是奇函数，所以研究[0，1]的部分即可， 因此x为非负数，所以可以直接乘到根号里， 所以y=√(x^2-x^4)=√[-(x^2-1/2)^2+1/4] 所以当x=√2/2时，函数取得最大值1/2 所以函数y=x√(1-x^2)的最大值是1/2 补充： 2.y=x√(1-x^2) 定义域 是[-1，1] 因为是 奇函数 ，所以研究[0，1]的部分即可， 因此x为 非负数 ，所以可以直接乘到 根号 里， 所以y=√(x^2-x^4)=√[-(x^2-1/2)^2+1/4] 所以当x=√2/2时，函数取得最大值1/2 所以函数y=x√(1-x^2)的最大值是1/2 补充： 1. 函数定义域 是-2≤x≤2, 可设x＝2sinθ, θ∈[-π/2,π/2], 则：√(4-x^2)＝2cosθ (不带 绝对值 ，因为 θ∈[-π/2,π/2]) 原函数即为 y＝2sinθ + 2cosθ＝2(sinθ+cosθ)＝2√2·sin(θ+π/4) 因-π/4≤θ+π/4≤3π/4 故-√2/2 ≤sin(θ+π/4)≤sin(π/2)＝1 于是y 的 值域 是[-2 ，2√2] （PS：上面格式有点小问题）