Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠ABC=2∠C，求证：AC2=AB2+AB?BC

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠ABC=2∠C，求证：AC2=AB2+AB?BC．

Answer 1

解：在DC上取DE=BD，连接AE．
则AE=AB，
∴∠ABC=∠AEB．
∵∠ABC=2∠C，
又∵∠AEB=∠C+∠EAC，
∴∠EAC=∠C，
∴AE=EC，
∴CE=AB．
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AC²=AD²+CD²，AB²=AD²+BD²，
∴AC²-AB²=（AD²+CD²）-（AD²+BD²）
=CD²-BD²
=（CD+BD）（CD-BD）
=BC?（CD-DE）
=BC?CE=BC?AB．
即AC²=AB²+BC?AB．