Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．（1）求证：四边形MNCD是平行四

如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．（1）求证：四边形MNCD是平行四边形；（2）求证：BD= MN．

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Answer 1

（1）见解析  （2）见解析

试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AD与BC的关系，根据MD与NC的关系，可得证明结论； （2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC的度数，根据三角形外角的性质，可得∠DBC的度数，根据正切函数，可得答案． 证明：（1）∵ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵M、N分别是AD、BC的中点， ∴MD=NC，MD∥NC， ∴MNCD是平行四边形； （2）如图：连接ND， ∵MNCD是平行四边形， ∴MN=DC． ∵N是BC的中点， ∴BN=CN， ∵BC=2CD，∠C=60°， ∴△NVD是等边三角形． ∴ND=NC，∠DNC=60°． ∵∠DNC是△BND的外角， ∴∠NBD+∠NDB=∠DNC， ∵DN=NC=NB， ∴∠DBN=∠BDN= ∠DNC=30°， ∴∠BDC=90°． ∵tan ， ∴DB= DC= MN．