Question

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，（a∈R）（1）求函数的单调区间与极值点；（2）若a=4，方程f（x）-m=0

已知函数f（x）=x2-（a+2）x+alnx，（a∈R）（1）求函数的单调区间与极值点；（2）若a=4，方程f（x）-m=0有三个不同的根，求m的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=2x+

a

x

-（a+2）=

(x?1)(2x?a)

x

，
令f′（x）=0得x=1或

a

2

，
当

a

2

≤0即a≤0时，x∈（0，1），递增区间为（1，+∞）；
极小值点为1，无极大值点，
当0＜

a

2

＜1即0＜a＜2时，x∈（0，

a

2

）时，f′（x）＞0；
x∈（

a

2

，1）时，f′（x）＜0；
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的减区间为：（

a

2

，1），递增区间为（0，

a

2

）和（1，+∞）；极小值点为1，极大值点为

a

2

；
当

a

2

＞1即a＞2时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0；
x∈（1，

a

2

）时，f′（x）＜0；
x∈（

a

2

，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）的递减区间为（1，

a

2

），递增区间（0，1）和（

a

2

，+∞）；极小值点

a

2

，极大值点为1；
当

a

2

=1时，即a=2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，无减区间，无极值点．
（2）当a=4时，f（x）-m=0即f（x）=m，
由（1）可知，x∈（0，1）时，f（x）递增，x∈（1，2）时，f（x）递减，
x∈（2，+∞）时，f（x）递增；
极大值f（1）=-5，极小值f（2）=4ln2-8，
要使f（x）-m=0有三个不同的根，则4ln2-8＜m＜-5；