Question

如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过

如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵a∥AB，且△ABC为等边三角形，
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°，AB=AC，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC
∵∠ADE=60°，
∴∠EDC=30°，
∴∠DOC=180°-∠EDC-∠ACB=90°，
∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=30°，
∴∠EDC=∠DEC，
∴EC=CD=DB，
∴△ABD≌△ACE．
∴AD=AE，且∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形；

（2）在AC上取点F，使CF=CD，连结DF，
∵∠ACB=60°，
∴△DCF是等边三角形，
∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°，
∴∠ADF=∠EDC，
∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE，
∴∠DAF=∠DEC，
∴△ADF≌△EDC（AAS），
∴AD=ED，
又∵∠ADE=60°，
∴△ADE是等边三角形．