Question

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2），a∈R．（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的定义域；

选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2），a∈R．（Ⅰ）当a=-2时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=-2时，由函数f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2），可得|x+1|+|x-a|-2＞0．
令g（x）=|x+1|+|x-a|-2=

?2x?3 ， x≤?2 1 ，?2＜x＜?1 2x+3 ，x≥?1

．…（3分）
若g（x）＞0，则可得 x＜-

5

2

，或x＞-

1

2

．
所以，f（x）定义域为（-∞，-

5

2

）∪（-

1

2

，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由题意，|x+1|+|x-a|＞2在R上恒成立，因为|x+1|+|x-a|≥|1+a|，…（8分）
所以，|1+a|＞2，解得a＜-3，或a＞1，
故a的范围为（-∞，-3）∪（1，+∞）．…（10分）