Question

若函数f（x）=lnx，g（x）=x-2x．（1）求函数φ（x）=g（x）-kf（x）（k＞0）的单调区间；（2）若对所有

若函数f（x）=lnx，g（x）=x-2x．（1）求函数φ（x）=g（x）-kf（x）（k＞0）的单调区间；（2）若对所有的x∈[e，+∞），都有xf（x）≥ax-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数φ（x）=x-

2

x

-klnx的定义域为（0，+∞）．
φ′（x）=1+

2

x2

-

k

x

=

x2?kx+2

x2

，记函数g（x）=x²-kx+2，其判别式△=k²-8
①当△=k²-8≤0即0＜k≤2

2

时，g（x）≥0恒成立，
∴φ′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，φ（x）在区间（0，+∞）上递增．
②当△=k²-8＞0即k＞2

2

时，方程g（x）=0有两个不等的实根x₁=

k? k2?8

2

＞0，x₂=

k+ k2?8

2

＞0．
若x₁＜x＜x₂，则g（x）＜0，∴φ′（x）＜0，∴φ（x）在区间（x₁，x₂）上递减；
若x＞x₂或0＜x＜x₁，则g（x）＞0，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在区间（0，x₁）和（x₂，+∞）上递增．
综上可知：当0＜k≤2

2

时，φ（x）的递增区间为（0，+∞）；当k＞2

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