已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.(1)求证:△ACD≌△BCD;(2)
已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.(1)求证:△ACD≌△BCD;(2)求∠A;(3)直线BF垂直于直线CE于点F,...
已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是AB边上一点.(1)求证:△ACD≌△BCD;(2)求∠A;(3)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:AE=CG;(4)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.
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解答:(1)证明:如图,∵D是AB的中点,
∴AD=BD.
∵在△ACD与△BCD中,
,
∴△ACD≌△BCD(SSS);
(2)解:如图,∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠ABC,∠A+∠ABC=90°,
∴∠A=∠ABC=45°,即∠A=45°;
(3)证明:如图1,∵点D是AB中点,AC=BC,
∠ACB=90°,
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CAD=∠CBD=45°,
∴∠CAE=∠BCG,
又∵BF⊥CE,
∴∠CBG+∠BCF=90°,
又∵∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠ACE=∠CBG,
在△AEC和△CGB中,
,
∴△AEC≌△CGB(ASA),
∴AE=CG;
(4)解:BE=CM.理由如下:
∵CH⊥HM,CD⊥ED,
∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,
∴∠CMA=∠BEC,
又∵∠ACM=∠CBE=45°,
在△BCE和△CAM中,
,
∴△BCE≌△CAM(AAS),
∴BE=CM.
∴AD=BD.
∵在△ACD与△BCD中,
|
∴△ACD≌△BCD(SSS);
(2)解:如图,∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,
∴∠A=∠ABC,∠A+∠ABC=90°,
∴∠A=∠ABC=45°,即∠A=45°;
(3)证明:如图1,∵点D是AB中点,AC=BC,
∠ACB=90°,
∴CD⊥AB,∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CAD=∠CBD=45°,
∴∠CAE=∠BCG,
又∵BF⊥CE,
∴∠CBG+∠BCF=90°,
又∵∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠ACE=∠CBG,
在△AEC和△CGB中,
|
∴△AEC≌△CGB(ASA),
∴AE=CG;
(4)解:BE=CM.理由如下:
∵CH⊥HM,CD⊥ED,
∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°,
∴∠CMA=∠BEC,
又∵∠ACM=∠CBE=45°,
在△BCE和△CAM中,
|
∴△BCE≌△CAM(AAS),
∴BE=CM.
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