Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）求证：△ACD≌△BCD；（2）

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）求证：△ACD≌△BCD；（2）求∠A；（3）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（4）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．

Answer 1

解答：（1）证明：如图，∵D是AB的中点，
∴AD=BD．
∵在△ACD与△BCD中，

AC＝BC AD＝BD CD＝CD

，
∴△ACD≌△BCD（SSS）；

（2）解：如图，∵在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC，∠A+∠ABC=90°，
∴∠A=∠ABC=45°，即∠A=45°；

（3）证明：如图1，∵点D是AB中点，AC=BC，
∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，

∠CAE＝∠BCG  AC＝BC ∠ACE＝∠CBG

，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；

（4）解：BE=CM．理由如下：
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，

∠BEC＝∠CMA ∠ACM＝∠CBE BC＝AC

，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．