Question

已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象在x=2处的

已知函数f（x）=alnx-2ax+3（a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）函数y=f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为32，若函数g（x）=13x3+x2[f′(x)+m]，在区间（1，3）上不是单调函数，求 m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ） f′(x)＝

a(1?2x)

x

(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，

1

2

]，减区间为[

1

2

，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[

1

2

，+∞），减区间为（0，

1

2

]；
（II）f′(2)＝

a(1?2×2)

2

＝

3

2

∴a=-1
∴f（x）=-lnx+2x+3
g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+m]
=

1

3

x3+（m+2）x²-x
g'（x）=x²+2（m+2）x-1
函数g（x）=

1

3

x3+x2[f′(x)+m]，在区间（1，3）上不是单调函数，
∴g'（x）=x²+2（m+2）x-1=0在（1，3）上有解
则

g′(1)＜0 g′(3)＞0

解得-

10

3

＜m＜-2
∴m的取值范围为（-

10

3

，-2）．