Question

已知函数f（x）=x2+2ax+1，g（x）=2x+2a（a∈R）（1）若对任意x∈R，不等式f（x）≥12g（x）恒成立，求实

已知函数f（x）=x2+2ax+1，g（x）=2x+2a（a∈R）（1）若对任意x∈R，不等式f（x）≥12g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）设函数m（x）=g(x)，f(x)≥g(x)f(x)，f(x)＜g(x)，求m（x）在x∈[2，4]上的最小值．

Answer 1

（1）若不等式f（x）≥

1

2

g（x）恒成立，
即x²+（2a-1）x+（1-a）≥0恒成立，
即△=（2a-1）²-4（1-a）≤0，
即4a²-3≤0，
解得a∈[?

3

2

，

3

2

]，
故实数a的取值范围为：[?

3

2

，

3

2

]；
（2）f（x）-g（x）=x²+（2a-2）x+（1-2a）=[x+（2a-1）]（x-1），
若2a-1=-1，即a=0时，
f（x）-g（x）=x²+1-2x=（x-1）²≥0恒成立，此时f（x）≥g（x）恒成立，
故此时m（x）=g（x）=2x，
由m（x）在x∈[2，4]上为增函数，故此时m（x）在x∈[2，4]上的最小值为m（2）=4；
若2a-1≠-1，即a≠0时，
f（x）-g（x）有两个零点1-2a，1，
即f（x），g（x）的图象有两个交点，如下图所示：

若1-2a＜1，即a＞0时，

m（x）在x∈[2，4]上为增函数，故此时m（x）在x∈[2，4]上的最小值为m（2）=g（2）=4+2a；
若1-2a＞1，即a＜0时，

当-a＞4，即a＜-4时，m（x）在x∈[2，4]上为减函数，
故此时m（x）在x∈[2，4]上的最小值为m（4）=f（4）=17+8a；
当2≤-a≤4，即-4≤a≤-2时，m（x）在x∈[2，-a]上为减函数，在x∈[-a，4]上为增函数，
故此时m（x）在x∈[2，4]上的最小值为m（-a）=f（-a）=1-a²；
当-a＜2＜1-2a，即-2＜a＜-

1

2

时，m（x）在x∈[2，4]上为增函数，
故此时m（x）在x∈[2，4]上的最小值为m（2）=f（2）=5+4a；
当2≥1-2a，即-

1

2

≤a＜0时，m（x）在x∈[2，4]上为增函数，
故此时m（x）在x∈[2，4]上的最小值为m（2）=g（2）=4+2a；
综上所述：m（x）在x∈[2，4]上的最小值为：

17+8a，a∈(?∞，?4) 1?a2，a∈[?4，?2] 5+4a，a∈(?2，? 1 2 ) 4+2a，a∈[? 1 2 ，+∞)