Question

已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线

已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12，（1）求该抛物线的对称轴；（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=ax+3与y轴交于点A，
∴点A坐标为（0，3），
∴AO=3，
∵矩形ABCO的面积为12，
∴AB=4，
∴点B的坐标为（4，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=2；
                                                                     
（2）∵⊙P经过A、B两点，
∴点P在直线x=2上，即点P的坐标为（2，y），
∵⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4，
又∵AB=4，
∴点P到AB的距离等于点P到y轴的距离为2，
∴四边形PEAF是正方形，
∴PE=2，
∵OA=3，
∴OF=1，
同理：AM=2，
∴OM=5，
∴点P的坐标为（2，1）或（2，5）；

（3）①当△DAE∽△DAO，则∠DAE=∠DAO，与已知条件矛盾，此情况不成立．
过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N，

设点D坐标为（2，y），
则ON=DM=2，DN=OM=y，AM=y-3；
②当△DAE∽△DOA，则∠DAE=∠DOA，
∴∠DAM=∠DON，
∵∠DMA=∠DNO=90°，
∴△DAM∽△DON，
∴

ON

AM

＝

DN

DM

，
∴

2

y?3

＝

y

2

，
∴y²-3y-4=0，
解得：y₁=-1（舍），y₂=4，
∴点D坐标为（2，4）．
由顶点坐标为（2，4），设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+4，
将（0，3）代入，得a=?

1

4

，
∴抛物线解析式为y＝?

1

4

(x?2)2+4．