Question

问: 高等代数 设f(x)为整系数多项式、(1)证明若f(1+根号2)=0,则f(1-根号2)=0.

高代题，急用，谢谢

Answer 1

先证明一个引理：【若f（x）=g（x）h（x），其中f（x）为整系数多项式，g（x）为本原多项式，h（x）为有理系数多项式，则h（x）也必为整系数多项式】假设h（x）不是整系数多项式，则必存在“大于1”的整数m，使得mh（x）为本原多项式，而两个本原多项式的乘积还是本原多项式，因此g（x）（mh（x））=mf（x）是本原多项式，而f（x）已经是整系数多项式从而mf（x）必定不是本原多项式（系数至少有公因子m），矛盾。
下面证明原命题：（先在Q上考虑）令a=√2+1，则由于a不属于Q所以deg（min（a，Q））>=2（min（a，F）表示a在域F上的首系为1的极小多项式），注意到a^2=2+2√2+1=2a+1，所以x^2-2x-1是a在Q上的一个极小多项式，则对于任意一个a在Q[x]上的零化多项式q（x），必有x^2-2x-1|q（x），从而对于｛q（x）｝中的整系数多项式f（x），必存在h（x）属于Q[x]，使得f（x）=（x^2-2x-1）h（x），注意到x^2-2x-1（=（x-（1+√2））（x-（1-√2）））为本原多项式，因此利用引理可得h（x）必为整系数多项式，所以任意的整系数多项式f（x），若f（x）是a的零化多项式则必有x^2-2x-1|f（x），从而1-√2也是f（x）的根
由此我们可以推出一个更广泛的结论：对于任意一个Q上的代数元a（即存在q（x）属于Q[x]使得q（a）=0），min（a，Q）在C上的所有根均是以a为根的整系数多项式f（x）的根