求xy"+y'=0的通解
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(2x+cx²)y²=1。c是常数。
解：令z=1/y²，则y'=-y³z'/2
代入原方程，化简得
xz'-2z+2x=0.........(1)
再令x=e^t，则xz'=dz/dt
代入方程(1)，化简得
dz/dt-2z=-2e^t..........(2)
∵方程(2)是一阶线性微分方程
于是，由一阶线性微分方程的通解公式，可得方程(2)的通解是
z=2e^t+ce^(2t)
(c是任意常数)
∴方程(1)的通解是
z=2x+cx²
故原方程的通解是(2x+cx²)y²=1。
求法
求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。
而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。
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简单计算一下即可，答案如图所示
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解:
设p = y'也可以
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Xy''+y'=0
dy/dx=p
y''=dp/dx
xdp/dx+p=0
dp/p=-dx/x
dlnp=dln(1/x)
lnp=ln(1/x)+C
p=C/x
dy/dx=C/x
dy=Cdx/x
y=Clnx+C1
dy/dx=p
y''=dp/dx
xdp/dx+p=0
dp/p=-dx/x
dlnp=dln(1/x)
lnp=ln(1/x)+C
p=C/x
dy/dx=C/x
dy=Cdx/x
y=Clnx+C1
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