Question

求学霸解答，高数第四题，微分方程

Answer 1

方程求导得：
2f(x)-1=f'(x)
即解微分方程y'-2y=-1
得：y=Ce^(2x)+1/2
又将x=0代入等式，得0=f(0)-1, 得f(0)=1
因此有1=C+1/2, 得C=1/2
所以f(x)=1/2e^(2x)+1/2

Answer 2

方程两边求导
2f(x)-1=df(x)/dx ....(1)
设u=2f(x)-1
两边微分du=2df(x)
df(x)=1/2du
代入方程（1）
du/u=2dx

两边积分
lnu-lnC=2x
u=Ce^(2x)=2f(x)-1
f(x)=1/2Ce^(2x)+1/2 .....(2)
将x=0代入原方程得 0=f(0)-1
f(0)=1
代入（2） 式
1=1/2Ce^0+1/2
C=1
∴f(x)=1/2e^(2x)+1/2