Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0,4），与x轴交于点A和点B，其中点A

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0,4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E，（1）求抛物线的解析式（2）若点F是直线BC上方抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）由于A(-2,0)，抛物线对称轴x=1，所以B点坐标为（4，0），
把A、B、C三点坐标值代入抛物线y=ax²+bx+c
有c=4,
4a-2b+4=0
16a+4b+4=0
解得a=-1/2，b=1，c=4
所以抛物线的解析式y=(-1/2)x²+x+4。
（2）四边形ABFC的面积=三角形ABC的面积+三角形BCF的面积
依题意，三角形BCF的面积=17-6*4*0.5=5，BC=4根号2
直线BC的解析式y=-x+4
因为点F在抛物线上，设点F的坐标为（x，(-x²/2+x+4），过点F作FH垂直BC于H，所以直线FH的解析式为y=x+b
FH=(5*2)/(4根号2)=(5根号2)/4
由于点F是抛物线与直线FH的交点，即-x²/2+x+4=x+b，可解得b=-x²/2+4，
直线FH的解析式为y=x-x²/2+4 ，又因为点H是直线BC与直线FH的交点，所以有
x-x²/2+4=-x+4，解得x=4（x=0不合题意舍去），y=0，即点H的坐标为（4，0），点H 与点B重合，所以直线BC上方抛物线上不存在点F使四边形ABFC的面积为17。

Answer 2

（1）：-b/2a=1=>b=-2a....(1), 把（0,4）代入解析式得c=4, 把（-2,0）代入得4a-2b+c=0....(2), 解方程组得a=-1/2,b=1,则解析式为y=-1/2x^2+x+4, (2):过C点作CF||AB交抛物线于F,则F点的坐标为（2,4），连接FC，经计算可知|FC|<|AB| , 所以ABFC非平形四边形。F点不存在。