Question

验证(xdy-ydx)/(x^2+y^2)在x>0内是某函数的全微分并求出此函数

Answer 1

本题确实是全微分，下面的图片解答的第一部分证明了它是全微分；

由于缺少定解条件，无法待定函数，也就无法得出具体的函数答案；

具体解答如下，若有疑问，请及时追问，有问必答；

若满意，请采纳。谢谢。

 

Answer 2

　　(ydx-xdy)/(x^2+y^2) = y/(x^2+y^2) dx - x/(x^2+y^2) dy
　　假设该函数存在,
　　令该函数 = f(x) = z , 则 dz/dx = y/(x^2+y^2)
　　1/y dz = 1/(x^2+y^2) dx
　　z/y = 1/y arctan (x/y) + C1(y)
　　z1 =arctan (x/y) + y* C1(y)
　　同理,dz/dy = -x /(x^2+y^2)
　　z2= arctan (x/y) - x*C2(x)
　　C1(y)为一个只含有y不含有x的多项式,C2(x)为一个只含有x不含有y的多项式
　　如果原式是某函数的全微分的,则z1=z2,所以C1(y)= C2(x) =0
　　所以原函数f(x)= arctan (x/y)
　　所以原式是函数 arctan (x/y) 的全微分.

Answer 3

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问