Question

线性代数 如果4阶方阵的秩为1，那么0就是它的特征值，这个能理解，但是为什么说0一定是3重特征值呢

线性代数 如果4阶方阵的秩为1，那么0就是它的特征值，这个能理解，但是为什么说0一定是3重特征值呢？为什么是3重？感激不尽

Answer 1

0特征值一定对应三个线性无关特征向量是对的，但是0特征值不一定是三重根，只能说至少三重，也可能四重。
分类讨论：
1.在已知该矩阵可相似对角化的前提下，可断言0必为三重根，且对应三个无关特征向量；
2.倘若尚且未知该矩阵是否可对角化，则只可得知0为特征值，重数不小于三，且对应三个无关的特征向量；其他信息无法判定，需要先判断矩阵是否可对角化或先求出其特征值，再做判断。
原因：你用特征多项式求的重数是代数重数，用维数减秩得到的是几何重数。
几何重数≤代数重数，题目给的是几何重数，你想求的是代数重数，至于取小于号还是等于号，已知信息无法判定，看上面讨论。具体此处不证，你可以自己找找反例。

Answer 2

0可能是三重也可能是四重特征值

Answer 3

因为秩为1，变为对角型时秩也为1，因此有三个0。

Answer 4

几何重数，因为Ax=0的维数为4-r(A)=4-1=3,所以特征值0对应着3个线性无关的特征向量

追问

Ax=0有3个线性无关的解，也就是说对应于特征值0有3个线性无关的特征向量，那为什么0就是3重特征值啊？

这里一直不懂，麻烦详细一点，谢谢

追答

特征方程│λE-A│=0的基础解系包含了n-r(λE-A)个解向量，他们都是线性无关的，每个解向量都是特征值λ对应的特征向量

Answer 5

4阶在实数范围内有四个特征值，秩为一，那么就有三个为0的特征值，一个是不等于0的特征值。我也是自己研究的，估计正确