Question

等差数列每一项的平方的和是多少

Answer 1

设等差数列第n项为an,公差为d,
则an=(n-1)d+a1
(an)^2=[(n-1)d+a1]^2
(an)^2-(an-1)^2=[(n-1)d+a1]^2-[(n-2)d+a1]^2=(2n-3)d^2+2da1
列出前几项
(a1)^2=(a1)^2
(a2)^2=(a1)^2+d^2+2da1
(a3)^2=(a1)^2+4d^2+4da1
(a4)^2=(a1)^2+9d^2+6da1
(a5)^2=(a1)^2+16d^2+8da1
(a6)^2=(a1)^2+25d^2+10da1
看出规律了吧
d^2前面系数和用1^2+2^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6计算，注意这里d^2前的系数的个数
da1前面的系数构成一个等差数列，用等差数列求和公式计算
Sn=n(a1)^2+n(n-1)(2n-1)d^2/6+n(n-1)da1

Answer 2

只要你会算1^2+2^2+...+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6就行，这个既可以通过展开(1+n)^3得到，也可以用归纳法证明。
如果a(k)=c+dk，那么a(k)^2=c^2+2cdk+d^2*k^2
将k从1到n求和得
sum a(k)^2 = c^2*n + cd*n(n-1) + d^2*n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

高中阶段没的求吧