Question

函数在某点左右可导是否能推出该函数在那一点连续？

Answer 1

本题不连续（注意本题左右导数也不等）

但是，注意：

[可导]，与[左右导数存在相等]并不是同一概念。

对于分段函数，如果在x=x0不连续，即便左右导数存在并且相等，那也不能说在x=x0可导。

可导，前提就是必须在x=x0连续，并且左右导数相等。

Answer 2

是的。函数在一点连续要满足三个条件，一是在该点有定义，二是在该点的函数左右极限存在且相等，三是左右极限等于函数在该点的函数值，因此满足可导条件之后，符合上面三个条件，所以函数在某点左右可导能推出该函数在那一点连续。

连续（Continuity）的概念最早出现于数学分析，后被推广到点集拓扑中。
假设f:X->Y是一个拓扑空间之间的映射，如果f满足下面条件，就称f是连续的：对任何Y上的开集U, U在f下的原像f^(-1)(U)必是X上的开集。
若只考虑实变函数，那么要是对于一定区间上的任意一点，函数本身有定义，且其左极限与右极限均存在且相等，则称函数在这一区间上是连续的。
分为左连续和右连续。在区间每一点都连续的函数，叫做函数在该区间的连续函数。

Answer 3

可以。
因为在某点左（右）可导则必左（右）连续（证明方法与 “可导必连续” 的证明类似）,因而若函数在某点左、右可导必可推出在该点连续的结论。
某一点左右可导并不能保证这一点可导（可导必须满足此点左右导数相等。）

Answer 4

可导一定连续，但连续不一定可导。某一点左右可导并不能保证这一点可导（可导必须满足此点左右导数相等。）
你在图中写的那个函数在x=0处是不可导的，因为函数在x=0处虽有左导数跟右导数，但两者不相等（左导数是1，右导数是-1），故函数在x=0处不可导，从而也就不连续了

追问

右导数存在吗？

追答

不好意思，图中的右导数是不存在的。回答得有点着急了。按照定义，它的右导数是无穷大，是不存在的。
本意就是想跟你说，可导一定连续，但连续不一定可导。反正我学高数的时候，这个结论挺管用的。

追问

谢谢了，我想了一会儿，函数某点左右导数存在，函数在该点连续

Answer 5

可以，但你那个图的右导数不存在，你用导数的定义，求右导数发现，右导数不存在。总结一下，就是左导数推出左连续右导数推出右连续，可导推出连续