Question

已知函数f（x）=4x／x2+1，g（x）=cos2πx+kcosπx，若对于任意的x1属于R，总

已知函数f（x）=4x／x2+1，g（x）=cos2πx+kcosπx，若对于任意的x1属于R，总存在x2属于R，使f（x1）=g（x2），则实数k的取值范围

Answer 1

f(x)=4x/(x²+1)
f'(x)=[4(x²+1)-4x·2x]/(x²+1)²=(4-4x²)/(x²+1)²
驻点x=±1
x<-1∪x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减
-1<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增
∴f(-1)=-2,是极小值
f(1)=2,是极大值
lim(x→∞)4x/(x²+1)=0
∴f(x)的值域是[-2,2],即|f(x)|≤2
g(x)=cos2πx+kcosπx
g'(x)=-2πsin2πx-kπsinπx
驻点：sinπx(2cosπx-k)=0
πx=kπ→x=k
cosπx=k/2→x₀=arccos(k/2)/π |K|≤2
|K|≤2
g(k)=cos2kπ+kcoskπ=1±k
g(x₀)=2cos²arccos(k/2)+kcosarccos(k/2)-1=k²-1≥-1
g(k)≥-1
当-2≤f(x₁)<-1时，不存在x₂
∴|K|>2
要实现题目要求，g(x)的值域必须包含f(x)的值域

此时g(x)的值域是[1-|k|,1+|k|] 1-|k|≤-2∩1+|k|≥2→|k|≥3
∴k的取值范围是k≥3∪k≤-3