Question

高一数学，求帮忙

Answer 1

解：（1）设-1<x<0，则有0<-x<1，于是根据函数f(x)在(0,1)上的定义可得
f(-x)=2^(-x)/[4^(-x)+1]=2^(-x)*4^x/[4^(-x)*4^x+1*4^x]=2^x/(4^x+1)=-f(x)
所以f(x)在(-1,0)上的解析式为
f(x)=-2^x/(4^x+1)
（2）当x属于(0,1)时，
f(x)=2^x/(4^x+1) （分子分母都除以2^x）
=1/[2^x+2^(-x)] （配方）
=1/{[2^(x/2)-2^(-x/2)] ^2+2}
很显然，当0<x<1时，2^(x/2)>2^(-x/2)，也即2^(x/2)-2^(-x/2)]>0；随着x的增大，2^(x/2)增大，2^(-x/2)减小，故2^(x/2)-2^(-x/2)]增大，且大于0。于是分母[2^(x/2)-2^(-x/2)] ^2+2＞0且随x的增大而增大，故f(x)在(0,1)上是减函数。
还有一个常规办法，就是设0<x1<x2<1，则
f(x1)-f(x2)=2^x1/(4^x1+1)-2^x2/(4^x2+1) （通分）
=[2^x1*(4^x2+1) - 2^x2*(4^x1+1)]/[(4^x1+1)(4^x2+1) ] （变形）
=[2^x1*(2^x2)^2 - 2^x2*(2^x1)^2+(2^x1-2^x2)]/[(4^x1+1)(4^x2+1) ]
=[2^x1*2^x2*(2^x2-2^x1)+(2^x1-2^x2)]/[(4^x1+1)(4^x2+1) ]
=[2^(x1+x2)-1]*(2^x2-2^x1)/[(4^x1+1)(4^x2+1) ]
因0<x1<x2<1，故x1+x2>0，则2^(x1+x2)-1＞0，且2^x2-2^x1＞0，因此
f(x1)-f(x2)>0
故为减函数。
比较而言，配方法比较简单些，但不容易想到；比较法容易想到，但要求一定的计算和变形能力。