Question

设随机变量x~u(0,1),y~u(1,3),x与y相互独立,求d(xy)

Answer 1

做这道题首先要知道均匀分布的数学期望与方差。
均匀分布 E(X)=(a+b)/2 , D(X)=(b-a)^2 / 12
所以E(X)=1/2;D(X)=1/12
同理E(Y)=2;D(Y)=1/3;
由于方差等于（平方的期望）减去（期望的平方）：即D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
所以：D(XY)=E[(XY)^2]-[E(XY)]^2==>因为XY相互独立，
(1) 所以E(XY)=E(X)E(Y)=1;即[E(XY)]^2=1； ………………1
(2)E[(XY)^2]=E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)=[D(X)+[E(X)]^2][D(Y)+[E(Y)]^2]=[(1/12)+(1/4)][(1/3)+(4)]=(1/3)(13/3)=13/9;……………………2
D(XY)=E[(XY)^2]-[E(XY)]^2=式子2-式子1=13/9-1=4/9
即答案为：4/9

Answer 2

E(XY)=E(X)E(Y)=1/2*(1+3)/2=1
D(XY)=E[(XY)^2]-E[(XY)]^2=E(X^2)E(Y^2)-[E(X)]^2-[E(Y)]^2=4/9