Question

关于映射证明的题目，请见图片。

Answer 1

能。
因为这其实看一看做一个用“元素的像”这一旧概念对“集合的像”这一新概念的定义。左边是被定义项，右边是定义项。一个完备的定义，被定义项和定义项在逻辑上必然是等价关系。

简化问题，其实在你的提问里把"A∩B"整体记作W，代入就变成
y∈f(W)⇔∃x∈W,使f(x)=y
这样其实就明了了吧。还是进一步说明下：因为加入一开始我们认为映射f(p)这种符号只能作用于元素的，表示一个元素在映射f下的像。现在扩展到f(W)新种表示，可以作用于一个集合了，直接表示集合W在映射f之下的像。那么右边就正是严格地仅仅用旧概念，即不直接用集合的像，而是用元素的像来内涵定义设么是一个集合的像，即f(W)所表示的。

很拗口。总的来说，如果左边和右边都是同一概念的不同命题表述，那么左右是否等价是要证明的。 而如果一边出现的一个是新的概念，那么这其实是一种定义，就像新华字典里一个新字使用与一组老字组成的句子进行解释一样，为什么这个字就是这个解释，是不用证明的。完备的定义是一种天然的等价关系，也是等价关系中的一个特例。

虽然从严格的形式系统上，对定义的任何证明都是画蛇添足的。但是最后为了体会一下这个“等价”的合理性，尝试用中文分别翻译等价符号左右的两个明天
左边：y属于集合通过映射f在其值域上形成的像
那么究竟什么叫属于这么个@#$%^&罗里罗嗦的集合呢？
右边说了：如果存在一个定义域W里的元素，使得这个元素通过映射f，得到在值域上的像正好是y，那么y就是属于这个@#$%^&的集合。

从这里看到，定义的一大用处就是作为判定定理。
另外再插一句，解释一下前面提到“完备”的定义这是几个意思。如果对同一概念，有两种不同表述的定义，那么这时候定义的完备性就需要证明了。首先要证明两种不同表述定义是等价的，这个是需要证明的，因为两种不同表述里必然都没出现被定义概念本身。如果证明了，那么就是被定义项和两个定义项三个互向等价。如果证明不了，那么就是不完备的定义，通俗说就是坏的定义，错的定义。那么这里又有一个发现，引发不完备的情况是有两种定义的表述，那么如果对同一个概念全天下只有一种定义表述，那么这个定义天然是完备的。所以话不能多说，多说容易不完备，所以，好了，就不多说了,再见。