Question

高中数学，参数方程问题，t的几何意义，为什么两个t的几何意义相加会有重合的部分？怎么理解？

Answer 1

直线的标准参数方程，t的意义和数轴上的数一个意思。
比如2，表示到原点距离2，在正方向。
-3，表示到原点距离3，在负方向。

追问

如果是同一方向的数可以拿它俩直接相加吗

追答

一般是求弦长。
就相当于数轴上两点距离
d=|t1-t2|
比如-1到3距离
|-1-3|

追问

我随便编的题目，不考虑象限等，就是想问当过定点p的直线与椭圆交于AB两点时，距离PA 和 PB相加等于什么

如果用t参数方程需不需要考虑定点和两交点的位置关系

追答

可以不用。
始终是|t1|+|t2|
但是根据绝对值定义，得考虑符号，
同号，|t1+t2|
异号，|t1-t2|
只有这样才方便运用韦达定理。

追问

同号的时候相加，根据几何意义不是会把一部分重合的部分给加上去了？像我题头画的那样

追答

这个有关系吗？

数轴上，绝对值之和

追问

这样不就存在重复部分(交集)吗

追答

你需要解决什么问题，你自己得明确喔

追问

如果我要求PA + PB，如果有重复那不是求了两个PA 吗

追答

就好比2+3

追问

明白了，谢谢

Answer 2

t表示直线l上以l必过点P(1,-1)为起点，线上任意一点M（x，y）为终点的有向线段PM
t的绝对值为PM距离
t1表示向量PA，t2表示向量PB

追问

我画的这种情况是两个t相减还是相加

追答

你的P点画错象限了，不太懂你的问题，能在详细说下吗

追问

我随便编的题目，不考虑象限等，就是想问当过定点p的直线与椭圆交于AB两点时，距离PA 和 PB相加等于什么

定点P

如果用t参数方程需不需要考虑定点和两交点的位置关系

追答

等于t1绝对值加t2绝对值，也等于t1+t2的和的绝对值，因为t1t2符号相同。这是定点在椭圆外且有两交点情况。相切时假设切点为A，t只有一个值，t的绝对值等于PA。相离就t无解。
再考虑P在椭圆内则必有两交点，即两t值，PA加PB等于两t绝对值之和，也等于两t之差的绝对值，因为两符号相反。还有P在椭圆上的情况，相切t等于0，相交交点A,PA等于t的绝对值。
综上，如果你计算时用t的绝对值直接计算不需考虑位置，就将PAPB直接换为t1绝对值，t2绝对值。若先将t1t2运算再取绝对值，需要考虑t1t2符号是否相同，也就是考虑P点位置，P在椭圆外符号相同，内则相反

追问

同号的时候相加，根据几何意义不是会把一部分重合的部分给加上去了？像我题头画的那样

追答

对的

追问

那这样不是错了，怎么能有重复部分呢

这样不就存在重复部分(交集)吗

追答

为什么不能有重复部分？

追问

如果我要求PA + PB，如果有重复那不是求了两个PA 吗

追答

不能这样说，图中PB和PA是两个距离,两个值，你不能说2的值包括1的值，计算2+1就算1+1吧
关于你说的重合，有一个情况，就是只有一个交点，这个时候PA就是PB,只算一个值

追问

明白了，谢谢

追答

不客气